Question

數(shù)列{a_n}滿足的前n項(xiàng)和S_n=2n-a_n，n∈N^*
（1）計(jì)算數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)；
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并證明；
（3）求數(shù)列{n•a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1、2、3、4，再利用公式S_n=2n-a_n可以直接求出出數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)，
（2）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2-a_n+a_n-1即：a_n=a_n-1+2，然后整理得a_n-2=（a_n-2），進(jìn)而求出a_n的通項(xiàng)公式，
（3）首先求出數(shù)列{n•a_n}的數(shù)列表達(dá)式，然后等差數(shù)列求和公式求出數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和，再利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，進(jìn)而求出數(shù)列{n•a_n}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：解：（1）計(jì)算得：．（3分）
（2）∵s_n=2n-a_n當(dāng)n≥2時(shí)
∴s_n-1=2（n-1）-a_n-1兩式相減可得：a_n=2-a_n+a_n-1即：
∵
所以，數(shù)列{a_n-2}是首項(xiàng)為a₁-2=-1公比為的等比數(shù)列
∵
即（7分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
∴，
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222720113905258/SYS201311012227201139052020_DA/12.png">
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為M_nM_n
=+++
=+++
兩式相減可得：=++++-
=-=-
=2-M_n
=4-（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列求和和數(shù)列遞推式的知識(shí)點(diǎn)，求數(shù)列遞推式可以用數(shù)學(xué)歸納法也可以直接利用a_n=S_n-S_n-1可求出a_n的通項(xiàng)公式，第三問求和需要利用錯(cuò)位相減法解答，本題難度不是很大．