Question

【題目】已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S．
（1）設A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），用A、C的坐標表示點C到直線l1的距離，并證明S=2|x1y2﹣x2y1|；
（2）設l1與l2的斜率之積為﹣ ，求面積S的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，直線l1的方程為y= x，由點到直線間的距離公式得：點C到直線l1的距離d= = ，

因為|AB|=2|AO|=2 ，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；

當l1與l2時的斜率之一不存在時，同理可知結(jié)論成立；

（2）解：方法一：設直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為﹣ ，

設直線l1的方程為y=kx，聯(lián)立方程組 ，消去y解得x=± ，

根據(jù)對稱性，設x1= ，則y1= ，

同理可得x2= ，y2= ，所以S=2|x1y2﹣x2y1|= ．

方法二：設直線l1、l2的斜率分別為 、 ，則 =﹣ ，

所以x1x2=﹣2y1y2，

∴ =4 =﹣2x1x2y1y2，

∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在橢圓x2+2y2=1上，

∴（ ）（ ）= +4 +2（ + ）=1，

即﹣4x1x2y1y2+2（ + ）=1，

所以（x1y2﹣x2y1）2= ，即|x1y2﹣x2y1|= ，

所以S=2|x1y2﹣x2y1|= ．

【解析】（1）依題意，直線l1的方程為y= x，利用點到直線間的距離公式可求得點C到直線l1的距離d= ，再利用|AB|=2|AO|=2 ，可證得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；當l1與l2時的斜率之一不存在時，同理可知結(jié)論成立；（2）方法一：設直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為﹣ ，可得直線l1與l2的方程，聯(lián)立方程組 ，可求得x1、x2、y1、y2 ， 繼而可求得答案．方法二：設直線l1、l2的斜率分別為 、 ，則 =﹣ ，利用A（x1 ， y1）、C（x2 ， y2）在橢圓x2+2y2=1上，可求得面積S的值．
【考點精析】關于本題考查的點到直線的距離公式，需要了解點到直線的距離為：才能得出正確答案．