Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上有n個不同的點P₁，P₂，…，P_n，橢圓的右焦點為F，數(shù)列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差數(shù)列，則n的最大值是（　�。�

A．2000

B．2001

C．2003

D．2005

Answer 1

分析：設(shè)P（x_n，y_n），P到右準(zhǔn)線的距離為d_n，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義算出|P_nF|=2-

1

2

x_n，結(jié)合題意數(shù)列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差數(shù)列，得出關(guān)于橫坐標(biāo)x₁、x_n的不等式，再利用橢圓上點的橫坐標(biāo)范圍，解之即可得到n的取值范圍，從而得出n的最大值．

解答：解：求得橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的a=2，b=

3

，c=1
右焦點為F（1，0），離心率e=

1

2

設(shè)P（x_n，y_n），P到右準(zhǔn)線x=4的距離為d_n，
根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得

|P nF|

dn

=e=

1

2

∴|P_nF|=

1

2

d_n=

1

2

（4-x_n）=2-

1

2

x_n，
∵數(shù)列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差數(shù)列，
∴|P_nF|-|P₁F|＞

n-1

1000

，可得

1

2

x₁-

1

2

x_n＞

n-1

1000

化簡得x₁-x_n＞

n-1

500

，
結(jié)合橢圓上點的橫坐標(biāo)的范圍，得x₁-x_n＜2a=4
∴

n-1

500

＜4，得n＜2001，得n的最大值為2000
故選：A

點評：本題給出橢圓上的n個點，在焦半徑成公差大于

1

1000

的等差數(shù)列情況下，求n的最大值．著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式等知識，屬于中檔題．