Question

【題目】函數(shù) .

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明： .

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的解析式求導(dǎo)可得，分類(lèi)討論可得：

當(dāng)時(shí)， 在上遞減，

在和上遞增，當(dāng)時(shí)，在上遞增.

(2)由題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知： 是方程的兩根，結(jié)合所給的不等式構(gòu)造對(duì)稱(chēng)差函數(shù) ，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍即可證得題中的不等式.

試題解析：

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

（1）令，開(kāi)口向上， 為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，

當(dāng)時(shí)，

①，即時(shí)， ，即在上恒成立，

②當(dāng)時(shí)，由，得，

因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)， ，即，

當(dāng)或時(shí)， ，即，

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上遞減，

在和上遞增，當(dāng)時(shí)，在上遞增.

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且，

則必有，且，且在上遞減，在和上遞增，

則，

因?yàn)?/span>是方程的兩根，

所以，即，

要證

又

，

即證對(duì)恒成立，

設(shè)

則

當(dāng)時(shí)， ，故，

所以在上遞增，

故，

所以，

所以.