Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n+n=

3

2

a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+λ（-2）ⁿ且數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n=1+

3

2

a_n-

3

2

a_n-1，從而a_n=3a_n-1-2，由此求出a_n=3ⁿ-1．
（Ⅱ）b_n=a_n+λ（-2）ⁿ=3ⁿ-1+λ（-2）ⁿ，從而得到

3-1-2λ＜9-1+4λ 9-1+4λ＜27-1-8λ

，由此能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n+n=

3

2

a_n，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+n-1=

3

2

an-1，②
兩式相減得a_n=1+

3

2

a_n-

3

2

a_n-1，即a_n=3a_n-1-2，
當(dāng)n≥2時(shí)，

an-1

an-1-1

=

3an-1-3

an-1-1

=3為定值，
由S_n=n+

3

2

a_n，令n=1，得a₁=-2．
所以數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，公比是3，首項(xiàng)為-3．
∴a_n-1=3×3^n-1，即a_n-1=3ⁿ．
∴a_n=3ⁿ-1．
（Ⅱ）b_n=a_n+λ（-2）ⁿ=3ⁿ-1+λ（-2）ⁿ，
∵數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，
∴

b1＜b2 b2＜b3

，即

3-1-2λ＜9-1+4λ 9-1+4λ＜27-1-8λ

，
解得-1＜λ＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式的求示，考查λ的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．