Question

【題目】如圖，在多面體中，和交于一點，除以外的其余各棱長均為2.

作平面與平面的交線，并寫出作法及理由；

求證：平面平面；

若多面體的體積為2，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】見解析見解析

【解析】

由題意可得平面，由線面平行的性質作出交線即可.

取的中點，連結，.由條件可證得平面，故.

又.平面.從而平面平面.

利用等體積法求得三棱錐的高，通過建立空間坐標系，利用空間向量法求線面角.

過點作（或）的平行線，即為所求直線.

和交于一點，四點共面.又四邊形邊長均相等.

四邊形為菱形，從而.

又平面，且平面，平面.

平面，且平面平面，.

取的中點，連結，.，，，.

又，平面，平面，故.

又四邊形為菱形，.

又，平面.

又平面，平面平面.

由，即.

設三棱錐的高為，則，解得.

又，平面.

建立如圖的空間直角坐標系，則，，，.

，.

由得，平面的一個法向量為.

又，于是.

故直線與平面所成角的正弦值為.