Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點P(3，

7

)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過Q（0，2）的直線l與雙曲線交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為2

2

，O為坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的定義求得2a=|PF1|-|PF2|=2

2

，再根據(jù)a²+b²=c²，求b²，可得雙曲線方程；
（2）設(shè)直線方程為：y=kx+2，將直線方程代入雙曲線方程，結(jié)合韋達定理求出|EF|，再利用點到直線的距離公式求出原點O到直線的距離d，根據(jù)S=

1

2

×|EF|×d=2

2

，求得k值，并驗證△＞0．

解答：解：（1）由雙曲線的定義知：2a=|PF1|-|PF2|=2

2

，∴a=

2

，c=2，
∵a²+b²=c²，∴b²=2，
∴雙曲線方程為：x²-y²=2．
（2）由題意得：直線l的斜率一定存在，設(shè)l：y=kx+2，
由

y=kx+2 x2+y2=2

⇒（1-k²）x²-4kx-6=0，△=16k²+24（1-k²）=24-8k²
則

1-k2≠0 △＞0

⇒k²＜3且k≠±1，
x₁+x₂=

4k

1-k2

，x₁x₂=-

6

1-k2

，|EF|²=（1+k²）[(x1+x2)2-4x₁x₂]=（1+k²）

24-8k2

(1-k2)2

，
∵原點到直線的距離d=

2

1+k2

，
S_△=

1

2

×|EF|×d=

1

2

×

(1+k2) 24-8k2 (1-k)2

×

2

1+k2

=2

2

⇒k⁴-k²-2=0，
解得k²=2或k²=-1（舍去），即k=±

2

，
故所求直線方程為

2

x-y+2=0或

2

x+y-2=0．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程，考查了直線與雙曲線的關(guān)系，韋達定理，點到直線的距離公式，考查了學(xué)生的運算能力，綜合性強．解答本題一定要注意驗證△＞0．