已知橢圓方程為，過(guò)右焦點(diǎn)斜率為1的直線(xiàn)到原點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓方程.
(2)已知為橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)且垂直軸的直線(xiàn)，點(diǎn)為直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)為以為直徑的圓與直線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線(xiàn).

（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：(1)由過(guò)右焦點(diǎn)斜率為1的直線(xiàn)到原點(diǎn)的距離為可以得到右焦點(diǎn)坐標(biāo)，即的值.再由公式可得橢圓方程.此處注意因?yàn)槭怯医裹c(diǎn)，即焦點(diǎn)在軸上，從而得到對(duì)應(yīng)的分母1即為；（2）由點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立橢圓方程求出的坐標(biāo).易知直線(xiàn)的方程，所以易求得點(diǎn)坐標(biāo)，由圓的性質(zhì)知，則只要就有直線(xiàn)、重合，即三點(diǎn)共線(xiàn).因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)已求得，可通過(guò)向量數(shù)量積予以證明.注意本題如選擇求點(diǎn)坐標(biāo)則將較為繁瑣，增加了解題的計(jì)算量，這里合理利用圓的直徑對(duì)應(yīng)的圓周角是直角這一性質(zhì)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算.
試題解析：（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，則過(guò)右焦點(diǎn)斜率為1的直線(xiàn)方程為：    1分
則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離                        3分
方程                                                   4分

（2）點(diǎn)坐標(biāo)為                                             5分
設(shè)直線(xiàn)方程為：，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為
得：                    6分
      7分    9分
    10分
由圓的性質(zhì)得：
又點(diǎn)的橫坐標(biāo)為   點(diǎn)的坐標(biāo)為    11分
     11分          13分
即，又三點(diǎn)共線(xiàn)               14分 
考點(diǎn)：1.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系；2.直線(xiàn)的方程；3.平面向量的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，，以為圓心的圓與相切于點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，是圓與軸除外的另一個(gè)交點(diǎn).
(I)求拋物線(xiàn)與圓的方程；
( II)已知直線(xiàn)，與交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn),且， 求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：，
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)的斜率的取值范圍；
（3）過(guò)原點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線(xiàn)與橢圓：相交于四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到四邊形的一邊距離為，試求時(shí)滿(mǎn)足的條件.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是橢圓的右焦點(diǎn)，圓與軸交于兩點(diǎn)，是橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)，且 
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線(xiàn)與的另一交點(diǎn)為，且的面積為，求橢圓的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線(xiàn)垂直于，垂足為點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上（與也不重合），且滿(mǎn)足，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)C（-1，0）且斜率為的直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn)，使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓（）右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，短軸長(zhǎng)為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓分別交于、兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右準(zhǔn)線(xiàn)為，離心率為．若直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，以線(xiàn)段為直徑作圓.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓與軸相切，求圓被直線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知，曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)分別與點(diǎn)、連線(xiàn)的斜率的乘積為．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，若曲線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，求證：．

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