設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求橢圓的方程．
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值．
分析：（1）先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)確定c，根據(jù)焦點(diǎn)于長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離確定a，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系確定b，橢圓方程可得．
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出
PF 1
•
PF 2
，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定
PF 1
•
PF 2
的范圍
解答：解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由離心率e=
c
a
=
3
2

則
c=
3
3
a-c=2- 
3
a2=b2+c2
解得a=2，b=1，c=
3

故所求橢圓的方程為
x2
4
+y2=1，
（2）由（1）知F1（-
3
，0），設(shè)P（x，y），
則
PF 1
•
PF 2
=（-
3
-x，-y）•（
3
-x，-y）=x2+y2-3=
1
4
（3x2-8）
∵x∈[-2，2]，∴0≤x2≤4，
故
PF 1
•
PF 2
∈[-2，1]
故最大值1，最小值-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．解答的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求橢圓方程及平面向量的基本計(jì)算．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點(diǎn)，C，原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）證明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命題成立：設(shè)圓x2+y2=t2上任意點(diǎn)M（x0，y0）處的切線交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，則OQ1⊥OQ2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的動(dòng)點(diǎn)Q，過(guò)動(dòng)點(diǎn)Q作橢圓的切線l，過(guò)右焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為P，則點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a＞1)短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•即墨市模擬）設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，右焦點(diǎn)為F（c，0），方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P（x1，x2）（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)-1＜a＜-
1
2
，則橢圓
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的離心率的取值范圍是（　�。�

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