Question

設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).
，
(1)求的表達(dá)式；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

（1）；（2）；（3），證明見解析.

試題分析：（1）易得，且有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)時，由，得，所以數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，繼而得，經(jīng)檢驗(yàn)，所以；
在范圍內(nèi)恒成立，等價于成立，令 ，即成立，，令，得，分和兩種情況討論，分別求出的最小值，繼而求出的取值范圍；
（3）由題設(shè)知：，，比較結(jié)果為：，證明如下：上述不等式等價于
在（2）中取，可得，令，則，即，使用累加法即可證明結(jié)論.
試題解析：，，
（1）
，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
當(dāng)時，
當(dāng)時

，，即
數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列


當(dāng)時，

（2）在范圍內(nèi)恒成立，等價于成立
令，即恒成立，

令，即，得
當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增

所以當(dāng)時，在上恒成立；
當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以
設(shè)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053837049370.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減
所以，即
所以不恒成立
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為
（3）由題設(shè)知：，

比較結(jié)果為：
證明如下：
上述不等式等價于
在（2）中取，可得
令，則，即
故有


上述各式相加可得：
結(jié)論得證.