Question

已知函數(shù).
（1）求證：；
（2）若對(duì)恒成立，求的最大值與的最小值.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）的最大值為，的最小值為1.

試題分析：（1）求，由，判斷出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而；（2）由于，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”，令，則，對(duì)分；；進(jìn)行討論，
用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定當(dāng)對(duì)恒成立時(shí)的最大值與的最小值.
（1）由得，
因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
從而.
（2）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”，
令，則，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而對(duì)任意恒成立.
當(dāng)時(shí) ，存在唯一的使得，
、在區(qū)間上的情況如下表：
 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053315533442.png" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，進(jìn)一步“對(duì)任意恒成立”
，當(dāng)且僅當(dāng)，即.
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.
所以，若對(duì)恒成立，則的最大值為與的最小值1.