Question

設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1，在滿足條件(1)、(2)的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程.

 

Answer 1

答案：
解析：

設(shè)圓的圓心為P（a，b）半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為. 由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90º，知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為r，故r2=2b2.又圓截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有r2=a2+1，從而得2b2－a2=1. ∵點(diǎn)P(a，b)到直線x－2y=0的距離為 ∴   當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)5d2=1，從而d取最小值，   由此有，   解此方程組得   由于r2=2b2知r=，   于是，所求圓的方程是 (x－1)2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y－1)2=2.