Question

設圓滿足：

(1)截y軸所得弦長為2；

(2)被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．

在滿足條件(1)、(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x－2y=0的距離最小的圓的方程.

Answer 1

解：設所求圓的圓心為P(a,b)，半徑為r，則P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.由題設圓P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°，圓P截x軸所得弦長為r，故r²＝2b²，又圓P截y軸所得弦長為2，所以

有r²＝a²＋1，從而有2b²－a²＝1

又點P(a,b)到直線x－2y=0距離為d＝，

 

所以5d²＝|a－2b|²＝a²＋4b²－4ac≥a²＋4b²－2（a²＋b²）

＝2b²－a²＝1

當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d²＝1，從而d取得最小值，由此有解方程得或

由于r²＝2b²，知r＝，

于是所求圓的方程為（x－1）²＋（y－1）²＝2或（x＋1）²＋（y＋1）²＝2

 

解法二：設所求的圓的方程為(x－a)²+(y－b)²=r²(r＞0)

依題意知，該圓與x軸、y軸分別有交點A(x₁,0)、B(x₂,0)和C(0,y₁)，D(0,y₂)，由(x－a)²+b²=r²，

得x_1,2=a±(r＞|b|)

由a²+(y－b)²=r²，得y_1,2=b±(r＞|a|)

由|CD|=2，

∵|CD|=|y₁－y₂|=2

∴2=2,∴r²=a²+1

∵|AB|等于該圓內接正方形的邊長，

∴|AB|=r

∴|AB|=|x₁－x₂|=2=r

∴r²=2b²，

∴2b²－a²=1，即為圓心坐標(a，b)滿足方程

 

圓心(a,b)到直線l的距離d=，

∴a－2b=±d

∴2b²±4db+5d²+1=0，若此方程看作b的二次方程有實根，故判別式非負，

∴Δ=8(5d²－1)≥0，∴5d²≥1

 

∴5d²有最小值1，即d有最小值

∴b²±2b+1=0，∴b=±1，

∴r²=2，a=±1

由于(a,b)使d取得最小值，應有|a－2b|=1

∴a=1,b=－1和a=－1,b=1(舍去)

∴a=b=1和a=b=－1才滿足

故圓方程為(x－1)²+(y－1)²=2和(x+1)²+(y+1)²=2.