Question

數(shù)列{a_n}滿足：na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1（n=1，2，3，…，）．
（1）求a_n的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=-（n+1）a_n，試問(wèn)是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有b_n≤b_k成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足的條件na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1，根據(jù)遞推可得（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1=(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1，兩式相減得到S_n，從而求出a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)存在自然數(shù)k，使對(duì)n∈N，b_n≤b_k恒成立，根據(jù)b_n+1-b_n的表達(dá)式易得當(dāng)n＜8時(shí)，b_n+1＞b_n，當(dāng)n=8時(shí)，b_n+1=b_n，當(dāng)n＞8時(shí)，b_n+1＜b_n故得解．

解答：解：（1）由na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1，
得，（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1=(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1兩式相減，
得a1+a2+…+an=(

9

10

)n-1=Sn
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-

1

10

(

9

10

)n-2
即an=

1        ，n=1 - 1 10 ( 9 10 )n-2，n≥2

（2）由（1）得bn=-(n+1)an=

-2          ，n=1 n+1 10 ( 9 10 )n-2，n≥2

設(shè)存在自然數(shù)k，使對(duì)n∈N，b_n≤c_k恒成立
當(dāng)n=1時(shí)，b2-b1=

23

10

＞0⇒b2＞b1
當(dāng)n≥2時(shí)，bn+1-bn=(

9

10

)n-2•

8-n

100

，
∴當(dāng)n＜8時(shí)，b_n+1＞b_n
當(dāng)n=8時(shí)，b_n+1=b_n，當(dāng)n＞8時(shí)，b_n+1＜b_n
所以存在正整數(shù)k=8或9，使對(duì)任意正整數(shù)n，均有b₁＜b₂＜…＜b₈=b₉＞b₁₀＞b₁₁＞…，
從而存在正整數(shù)k8或9，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n都b_n≤b_k成立

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了作差比較法和數(shù)列與不等式的綜合，以及計(jì)算能力，屬于中檔題．