Question

（2013•河池模擬）若數列{a_n}滿足前n項和為Tn=n2-

1

2

n．
（1）求數列{

an

2n

}的前n項和S_n；
（2）設數列{b_n}滿足條件：b1=2，bn+1≥abn，求證：

1

2b1-3

+

1

2b2-3

+

1

2b3-3

+…+

1

2bn-3

＜2．

Answer 1

分析：（1）首先根據給出的數列的前n項和，求出數列{a_n}的通項，代入數列{

an

2n

}后利用分組和錯位相減法求數列{

an

2n

}的前n項和S_n；
（2）把（1）中求出的a_n代入bn+1≥abn，把不等式依次循環(huán)得到bn+1-

3

2

≥2n(b1-

3

2

)，代入b₁后得到

1

2bn+1-3

≤

1

2n

，把要證的不等式左邊利用此式放大后借助于等比數列求和即可得到要征得結論．

解答：（1）解：由Tn=n2-

1

2

n，
當n=1時，
a1=T1=1-

1

2

=

1

2

．
當n≥2時，
a_n=T_n-T_n-1
=n2-

1

2

n-[(n-1)2-

1

2

(n-1)]
=2n-

3

2

．
此式當n=1時成立．
所以，an=2n-

3

2

．
所以

an

2n

=

2n- 3 2

2n

=

n

2n-1

-

3

2n+1

．
所以數列{

an

2n

}的前n項和S_n=(

1

20

-

3

22

)+(

2

21

-

3

23

)+(

3

22

-

3

24

)+…+(

n

2n-1

-

3

2n+1

)
=(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)-3(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)．
令Qn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

①

1

2

Qn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

②
①-②得：

1

2

Qn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

．
所以，Qn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

．
又3(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)=3×

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

3

2

(1-

1

2n

)．
所以，Sn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

-

3

2

+

3

2n+1

=

5

2

-

1

2n-2

-

n

2n-1

+

3

2n+1

；
（2）證明：因為an=2n-

3

2

，
則bn+1≥abn=2bn-

3

2

，
即bn+1-

3

2

≥2(bn-

3

2

)≥22(bn-1-

3

2

)≥…≥2n(b1-

3

2

)，
又b₁=2，所以bn+1-

3

2

≥2n(2-

3

2

)=2n-1．
則

1

bn+1- 3 2

≤

1

2n-1

，即

1

2bn+1-3

≤

1

2n

．
所以，

1

2b1-3

+

1

2b2-3

+

1

2b3-3

+…+

1

2bn-3

≤1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

1

2n-1

＜2．

點評：本題考查了利用數列的前n項和求數列的通項公式，注意討論n=1的情形，考查了數列的分組求和和錯位相減法求和，訓練利用放縮法求證不等式，解答此題（2）的關鍵在于其中的循環(huán)縮小的過程，是該題的難點所在．此題屬難度較大的題型．