Question

【題目】定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)， f（x）= ，
則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零點(diǎn)之和為（ ）
A.1﹣2a
B.2a﹣1
C.1﹣2﹣a
D.2﹣a﹣1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵當(dāng)x≥0時(shí)，

f（x）= ；

即x∈[0，1）時(shí)，f（x）= （x+1）∈（﹣1，0]；

x∈[1，3]時(shí)，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；

x∈（3，+∞）時(shí)，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；

畫出x≥0時(shí)f（x）的圖象，

再利用奇函數(shù)的對(duì)稱性，畫出x＜0時(shí)f（x）的圖象，如圖所示；

則直線y=a，與y=f（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，則方程f（x）﹣a=0共有五個(gè)實(shí)根，

最左邊兩根之和為﹣6，最右邊兩根之和為6，

∵x∈（﹣1，0）時(shí)，﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）= （﹣x+1），

又f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣ （﹣x+1）= （1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），

∴中間的一個(gè)根滿足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，

解得x=1﹣2a，

∴所有根的和為1﹣2a．

故選：A．

【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)．