Question

【題目】已知兩個(gè)函數(shù)f（x）=log4（a ）（a≠0），g（x）=log4（4x+1）﹣ 的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】{a,a＞1或a=﹣3}
【解析】g（x）=log4（a2x﹣ a），

函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即

方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解

由已知得log4（4x+1） x=log4（a2x﹣ a），

∴l(xiāng)og4（ ）=log4（a2x﹣ a），

方程等價(jià)于 ，

設(shè)2x=t，t＞0，則（a﹣1）t2﹣ at﹣1=0有一解

若a﹣1＞0，設(shè)h（t）=（a﹣1）t2﹣ at﹣1，

∵h(yuǎn)（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解

∴a＞1滿足題意

若a﹣1=0，即a=1時(shí)，h（t）=﹣ ﹣1，由h（t）=0，得t=﹣ ＜0，不滿足題意

若a﹣1＜0，即a＜1時(shí)，由△=（﹣ ）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）=0，得a=﹣3或a= ，

當(dāng)a=﹣3時(shí)，t= 滿足題意

當(dāng)a= 時(shí)，t=﹣2（舍去）

綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＞1或a=﹣3}．

所以答案是：{a|a＞1或a=﹣3}．