【題目】如圖1,平面五邊形ABCDE中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2,CD=1,△ADE是邊長(zhǎng)為2的正三角形.現(xiàn)將△ADE沿AD折起,得到四棱錐E﹣ABCD(如圖2),且DE⊥AB.
(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求平面BCE和平面ADE所成銳二面角的大。
(Ⅲ)在棱AE上是否存在點(diǎn)F,使得DF∥平面BCE?若存在,求 的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ)證明:由已知得AB⊥AD,AB⊥DE.
因?yàn)锳D∩DE=D,所以AB⊥平面ADE.
又AB平面ABCD,所以平面ADE⊥平面ABCD
(Ⅱ)解:設(shè)AD的中點(diǎn)為O,連接EO.
因?yàn)椤鰽DE是正三角形,所以EA=ED,所以EO⊥AD.
因?yàn)?平面ADE⊥平面ABCD,
平面ADE∩平面ABCD=AD,EO平面ADE,
所以EO⊥平面ABCD.
以O(shè)為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,在平面ABCD內(nèi)過(guò)O 垂直于AD的直線為y軸,OE所在的直線為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,如圖所示.

由已知,得E(0,0, ),B(1,2,0),C(﹣1,1,0).
所以 =(1,﹣1, ), =(2,1,0).
設(shè)平面BCE的法向量 =(x,y,z).
,
令x=1,則 =(1,﹣2,﹣ ).
又平面ADE的一個(gè)法向量 =(0,1,0),
所以cos< >= =﹣
所以平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大小為
(Ⅲ)在棱AE上存在點(diǎn)F,使得DF∥平面BCE,此時(shí)
理由如下:
設(shè)BE的中點(diǎn)為G,連接CG,F(xiàn)G,
則FG∥AB,F(xiàn)G=
因?yàn)锳B∥CD,且 ,所以FG∥CD,且FG=CD,
所以四邊形CDFG是平行四邊形,所以DF∥CG.
因?yàn)镃G平面BCE,且DF平面BCE,
所以DF∥平面BCE
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出AB⊥AD,AB⊥DE,從而AB⊥平面ADE,由此能平面ADE⊥平面ABCD.(Ⅱ)設(shè)AD的中點(diǎn)為O,連接EO,推導(dǎo)出EO⊥AD,從而EO⊥平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,在平面ABCD內(nèi)過(guò)O 垂直于AD的直線為y軸,OE所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大小.(Ⅲ)設(shè)BE的中點(diǎn)為G,連接CG,F(xiàn)G,推導(dǎo)出四邊形CDFG是平行四邊形,從而DF∥CG.由此能求出在棱AE上存在點(diǎn)F,使得DF∥平面BCE,此時(shí)
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)表示三條不同的直線,表示三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:

①若,則;

②若,則;

③若為異面直線,,,則

④若,則. 其中真命題的個(gè)數(shù)為( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】從某學(xué)校高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高,測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組[155,160);第二組[160,165)、…、第八組[190,195],下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第一組與第八組人數(shù)相同,第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)估計(jì)這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高180cm以上(含180cm)的人數(shù);


2)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖(如需增加刻度請(qǐng)?jiān)诳v軸上標(biāo)記出數(shù)據(jù),并用直尺作圖);

(3)由直方圖估計(jì)男生身高的中位數(shù).

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【題目】已知拋物線,直線交此拋物線于不同的兩個(gè)點(diǎn)、

)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),證明為定值.

)當(dāng)時(shí),直線是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);反之,請(qǐng)說(shuō)明理由.

)記,如果直線過(guò)點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為.問(wèn)是否存在一條直線和一個(gè)定點(diǎn),使得點(diǎn)到它們的距離相等?若存在,求出這條直線和這個(gè)定點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知是方程的兩根, 數(shù)列是公差為正的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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【題目】已知圓軸負(fù)半軸相交于點(diǎn),與軸正半軸相交于點(diǎn).

1)若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為,求直線的方程;

2)若在以為圓心半徑為的圓上存在點(diǎn),使得 (為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的取值范圍;

3)設(shè)是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,如果直線軸分別交于,問(wèn)是否為定值?若是求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】對(duì)于n∈N* , 若數(shù)列{xn}滿足xn+1﹣xn>1,則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”.
(Ⅰ)已知數(shù)列:1,m+1,m2是“K數(shù)列”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在首項(xiàng)為﹣1的等差數(shù)列{an}為“K數(shù)列”,且其前n項(xiàng)和Sn滿足 ?若存在,求出{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列{an}是“K數(shù)列”,數(shù)列 不是“K數(shù)列”,若 ,試判斷數(shù)列{bn}是否為“K數(shù)列”,并說(shuō)明理由.

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【題目】對(duì)于函數(shù),若存在成立,則稱的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)

有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0,2,且

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列,求數(shù)列通項(xiàng)

(3)如果數(shù)列滿足,求證:當(dāng)時(shí),恒有成立.

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【題目】(滿分12分)學(xué)習(xí)雷鋒精神前半年內(nèi)某單位餐廳的固定餐椅經(jīng)常有損壞,學(xué)習(xí)雷鋒精神時(shí)全修好;單位對(duì)學(xué)習(xí)雷鋒精神前后各半年內(nèi)餐椅的損壞情況作了一個(gè)大致統(tǒng)計(jì),具體數(shù)據(jù)如下:


損壞餐椅數(shù)

未損壞餐椅數(shù)

總 計(jì)

學(xué)習(xí)雷鋒精神前

50

150

200

學(xué)習(xí)雷鋒精神后

30

170

200

總 計(jì)

80

320

400

)求:學(xué)習(xí)雷鋒精神前后餐椅損壞的百分比分別是多少?并初步判斷損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神是否有關(guān)?

)請(qǐng)說(shuō)明是否有975%以上的把握認(rèn)為損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神有關(guān)?

參考公式:,

PK2≥k0

005

0025

0010

0005

0001

k0

3841

5024

6635

7879

10828

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