【題目】已知⊙C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2,0),B(0,2),且圓心C在直線(xiàn)y=x上,直線(xiàn)L:y=kx+1與⊙C相交于P,Q點(diǎn).
(1)求⊙C的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線(xiàn)L1⊥L,且L1交⊙C于M,N,求四邊形PMQN的面積最大值.

【答案】
(1)解:設(shè)圓心C(a,a),半徑為r.

因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2,0),B(0,2),所以|AC|=|BC|=r,

所以 = =r

解得a=0,r=2,

所以圓C的方程是x2+y2=4


(2)解:設(shè)圓心O到直線(xiàn)l,l1的距離分別為d,d1,四邊形PMQN的面積為S.

因?yàn)橹本(xiàn)l,l1都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),且l⊥l1,根據(jù)勾股定理,有d12+d2=1

又根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到,|PQ|=2 ,|MN|=2

∴S= ×2 ×2 =2 ≤2 =7

當(dāng)且僅當(dāng)d1=d時(shí),等號(hào)成立,所以S的最大值為7


【解析】(1)設(shè)圓心C(a,a),半徑為r,利用|AC|=|BC|=r,建立方程,從而可求圓C的方程;(2)設(shè)圓心O到直線(xiàn)l,l1的距離分別為d,d1 , 求得d12+d2=1,根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到,|PQ|=2 ,|MN|=2 ,再利用基本不等式,可求四邊形PMQN面積的最大值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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