Question

【題目】已知數(shù)列滿足，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，令（）.

（1）證明：；

（2）證明：是等比數(shù)列，且的通項(xiàng)公式是；

（3）是否存在常數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)均有成立？若存在，求的取值范圍，否則，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，

【解析】

（1）由已知可得：．利用基本不等式的性質(zhì)可得：，可得，代入化簡(jiǎn)即可得出．

（2）設(shè)，由，．可得．即可證明是等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式、累加求和方法即可得出．

（3）假設(shè)存在常數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)均有成立．由（2）可得：．時(shí)，，解得．時(shí)，，利用單調(diào)性即可得出．

解：（1）依題意得，要證明，即證明，

又因?yàn)?/span>，所以，

要證明，即證明，要證明，即證明，

又因?yàn)?/span>，即得證.

（2）設(shè)，因?yàn)?/span>，且，

則.

所以：是公比為的等比數(shù)列，則，

．

的通項(xiàng)公式是；

（3）假設(shè)存在存在常數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)均有成立，

由（2）知，，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

而，

則當(dāng)時(shí)，，故存在這樣的，