Question

已知命題：“?x∈x|-1≤x≤1，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命題．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合B； 
（2）設(shè)不等式（x-3a）（x-a-2）＜0的解集為A，若x∈A是x∈B的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分離出m，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，求出（x²-x）_max，求出m的范圍．
（2）通過對二次不等式對應(yīng)的兩個根大小的討論，寫出集合A，“x∈A是x∈B的充分不必要條件”即A⊆B，求出a的范圍．

解答：解：（1）命題：“?x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命題，
得x²-x-m＜0在-1≤x≤1恒成立，
∴m＞（x²-x）_max
得m＞2
即B=（2，+∞）
（2）不等式（x-3a）（x-a-2）＜0
①當(dāng)3a＞2+a，即a＞1時
解集A=（2+a，3a），
若x∈A是x∈B的充分不必要條件，則A⊆B，
∴2+a≥2此時a∈（1，+∞）．
②當(dāng)3a=2+a即a=1時
解集A=φ，
若x∈A是x∈B的充分不必要條件，則A?B成立．
③當(dāng)3a＜2+a，即a＜1時
解集A=（3a，2+a），若
x∈A是x∈B的充分不必要條件，則A?B成立，
∴3a≥2此時a∈[

2

3

，1)．
綜上①②③：a∈[

2

3

，+∞)．

點(diǎn)評：解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍問題，常采用分離參數(shù)求最值；解含參數(shù)的二次不等式時，長從二次項(xiàng)系數(shù)、判別式、兩個根的大小進(jìn)行討論．