如圖4，四邊形為正方形，平面，，于點，，交于點.

（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）由平面，得到，再由四邊形為正方形得到，從而證明平面，從而得到，再結合，即以及直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）先證明、、三條直線兩兩垂直，然后以點為坐標原點， 、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.
試題解析：（1）平面，
，又，，
平面，
，又，
平面，即平面；
（2）設，則中，，又，
，，由（1）知，
，，
，又，
，，同理，
如圖所示，以為原點，建立空間直角坐標系，則，
，，，，

設是平面的法向量，則，又，
所以，令，得，，
由（1）知平面的一個法向量，
設二面角的平面角為，可知為銳角，
，即所求.
【考點定位】本題考查直線與平面垂直的判定以及利用空間向量法求二面角，屬于中等題.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.
(1)證明：AC1⊥A1B;
(2)設直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1-AB-C的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.
（1）求證：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求點C到平面A1BD的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求證：平面MOE∥平面PAC.
(2)求證：平面PAC⊥平面PCB.
(3)設二面角M—BP—C的大小為θ，求cos θ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知正方體的棱長為2，分別是上的動點，且，確定的位置，使．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知是三條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（    ）
A．若，，，，則
B．若，∥，，則
C．若∥，，則∥
D．若，，，則∥

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

以下說法中，正確的個數(shù)是（ ）
①平面內有一條直線和平面平行，那么這兩個平面平行
②平面內有兩條直線和平面平行，那么這兩個平面平行
③平面內有無數(shù)條直線和平面平行，那么這兩個平面平行
④平面內任意一條直線和平面都無公共點，那么這兩個平面平行
A．0個B．1個C．2個D．3個

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面邊長為8的正方形，四條側棱長均為.點分別是棱上共面的四點，平面平面，平面.
證明：
若，求四邊形的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

[2013·鄭州模擬]設α，β，γ為三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．
①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.
可以填入的條件有(　　)
A．①或②B．②或③
C．①或③D．①或②或③

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