Question

A．如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE=AC，DE交AB于點(diǎn)F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=．
（1）求逆矩陣A^-1；
（2）若矩陣X滿足，試求矩陣X．
C．坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C₁：ρcos（θ+）=2與曲線C₂：
，（t∈R）交于A、B兩點(diǎn)．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數(shù)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：A、證明△PDF∽△POC，由于有公共角∠P，證明∠PFD=∠OCP即可；
B．（1）設(shè)A^-1=，利用A^-1A=E，即可求得；（2）利用（1）的逆矩陣可求；
C、先將極坐標(biāo)方程化為普通方程，再將這兩個(gè)方程聯(lián)立，消去x，得y²-4y-16=0，再由韋達(dá)定理研究；
D、利用基本不等式證明，，，即可證得結(jié)論．
解答：A、證明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
∴∠PFD=∠OCP
在△PDF與△POC中，∠P=∠P，∠PFD=∠OCP，∴△PDF∽△POC；
B．解：（1）設(shè)A^-1=，則==．
∴，解得，∴A^-1=．
（2）．
C．證明：曲線C₁的直角坐標(biāo)方程x-y=4，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程是拋物線y²=4x，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將這兩個(gè)方程聯(lián)立，消去x，得y²-4y-16=0
∴y₁y₂=-16，y₁+y₂=4，
∴x₁x₂+y₁y₂=（y₁+4）（y₂+4）+y₁y₂=2y₁y₂+4（y₁+y₂）+16=0
∴，∴OA⊥OB
D． 證明：因?yàn)閤，y，z都是為正數(shù)，所以
同理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，以上三式等號(hào)都成立
將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得
點(diǎn)評(píng)：本題考查選講內(nèi)容，考查知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，用到知識(shí)多，屬于中檔題．