Question

【題目】已知函數(shù)（），且函數(shù)圖象的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離為，當(dāng)時(shí)， 的最大值為1．

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）=sin（2x﹣）﹣；（Ⅱ）m∈[﹣2，1].

【解析】試題分析：（I）由題意可求T=π，利用周期公式可求ω的值，可得解析式f（x）=sin（ωx﹣）+b，結(jié)合范圍2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函數(shù)的有界性解得b的值，從而可求函數(shù)f（x）的解析式．

（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，結(jié)合已知可求m的取值范圍．

試題解析：

（I）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函數(shù)圖象的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離為，

∴=，可得：T=π，由=π，可得：ω=2，

∴f（x）=sin（2x﹣）+b，

∵當(dāng)x∈[0，]時(shí)，2x﹣∈[﹣，]，

∴由于y=sinx在[﹣，]上單調(diào)遞增，可得當(dāng)2x﹣=，即x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（）=sin+b，

∴sin+b=1，解得b=﹣，

∴f（x）=sin（2x﹣）﹣

（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象的函數(shù)解析式為：g（x）=sin[2（x﹣）﹣]﹣=sin（2x﹣）﹣，

∵當(dāng)x∈[0，]時(shí)，可得：2x﹣∈[﹣，]，g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，

∴g（x）﹣3∈[﹣5，﹣2]，g（x）+3∈[1，4]，

∵g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，

∴m∈[﹣2，1]．