Question

已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，cosωx）且0＜ω＜2，函數f（x）=m•n，且f（）=．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數y=g（x）的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，得到函數y=f（x）的圖象，求函數g（x）的解析式及其在[-，]上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=•可求得f（x）=sin（2ωx+）+，f（）=，可求得sin（+）=0，從而可求得ω；
（Ⅱ）依題意，轉化為將y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，再將得到的y=sin（+）+的圖象向左平移個單位得到函數g（x）的圖象，從而得到g（x）的解析式，利用余弦函數的性質可求得其在[-，]上的值域．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=•=sinωxcosωx+cos²ωx=sin2ωx+cos2ωx+
=sin（2ωx+）+，…3分
∵f（）=，則sin（+）=0，
∴+=kπ，k∈Z，
∴ω=k-，k∈Z，又0＜ω＜2，
∴k=1，故ω=1…6分
（Ⅱ）由題意知，將函數y=g（x）的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，得到函數y=f（x）的圖象?將y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，再將得到的y=sin（+）+的圖象向左平移個單位得到函數g（x）的圖象，因此g（x）=sin（+）+=cos+，…9分
∵∈[-，]，
∴≤cos≤1，
故g（x）在[-，]上的值域為[，1+]…12分
點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查余弦函數的性質，是三角函數中的綜合題，屬于難題．