【題目】如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,直線PC⊥平面ABC,E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點.
(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關系,并加以證明;
(2)設(1)中的直線l與圓O的另一個交點為D,且點Q滿足 .記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E﹣l﹣C的大小為β.求證:sinθ=sinαsinβ.
【答案】
(1)解:直線l∥平面PAC,證明如下:
連接EF,因為E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點,所以EF∥AC,
又EF平面ABC,且AC平面ABC,所以EF∥平面ABC.
而EF平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.
因為l平面PAC,EF平面PAC,所以直線l∥平面PAC.
(2)解:(綜合法)如圖1,連接BD,由(1)可知交線l即為直線BD,且l∥AC.
因為AB是⊙O的直徑,所以AC⊥BC,于是l⊥BC.
已知PC⊥平面ABC,而l平面ABC,所以PC⊥l.
而PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC.
連接BE,BF,因為BF平面PBC,所以l⊥BF.
故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角,即∠CBF=β.
由 ,作DQ∥CP,且 .
連接PQ,DF,因為F是CP的中點,CP=2PF,所以DQ=PF,
從而四邊形DQPF是平行四邊形,PQ∥FD.
連接CD,因為PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC內的射影,
故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.
又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF=α,
于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分別可得 ,
從而 .
(向量法)如圖2,由 ,作DQ∥CP,且 .
連接PQ,EF,BE,BF,BD,由(Ⅰ)可知交線l即為直線BD.
以點C為原點,向量 所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設CA=a,CB=b,CP=2c,則有 .
于是 ,
∴ = ,從而 ,
又取平面ABC的一個法向量為 ,可得 ,
設平面BEF的一個法向量為 ,
所以由 可得 取 =(0,c,b),
于是 ,從而 .
故 ,即sinθ=sinαsinβ.
【解析】(1)直線l∥平面PAC.連接EF,利用三角形的中位線定理可得,EF∥AC;利用線面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC.由線面平行的性質定理可得EF∥l.再利用線面平行的判定理即可證明直線l∥平面PAC.(2)綜合法:利用線面垂直的判定定理可證明l⊥平面PBC.連接BE,BF,因為BF平面PBC,所以l⊥BC.故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角,即∠CBF=β.已知PC⊥平面ABC,可知CD是FD在平面ABC內的射影,故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.由BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF=α,分別利用三個直角三角形的邊角關系即可證明結論;
向量法:以點C為原點,向量 所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與平面之間的位置關系的相關知識,掌握直線在平面內—有無數(shù)個公共點;直線與平面相交—有且只有一個公共點;直線在平面平行—沒有公共點,以及對直線與平面平行的判定的理解,了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)若直線與曲線交于、兩點,求的最小值.
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【題目】下列說法正確的序號是__________.
①用刻畫回歸效果,當 越大時,模型的擬合效果越差;反之,則越好;
②可導函數(shù)在處取極值,則;
③歸納推理是由特殊到一般的推理,而演繹推理是由一般到特殊的推理;
④綜合法證明數(shù)學問題是“由因導果”,分析法證明數(shù)學問題是“執(zhí)果索因”。
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【題目】(選修4﹣4:坐標系與參數(shù)方程)
在直角坐標系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為 為參數(shù),a>b>0).在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l與圓O的極坐標方程分別為 為非零常數(shù))與ρ=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點,且與圓O相切,則橢圓C的離心率為 .
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【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足:|a2﹣a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù)m,使得 ?若存在,求m的最小值;若不存在,說明理由.
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【題目】現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中任取3道題解答.
(I)求張同學至少取到1道乙類題的概率;
(II)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.用表示張同學答對題的個數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】給定區(qū)域D: .令點集T={(x0 , y0)∈D|x0 , y0∈Z,(x0 , y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點},則T中的點共確定條不同的直線.
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【題目】某電影院共有個座位.某天,這家電影院上、下午各演一場電影.看電影的是甲、乙、丙三所中學的學生,三所學校的觀影人數(shù)分別是985人, 1010人,2019人(同一所學校的學生有的看上午場,也有的看下午場,但每人只能看一-場).已知無論如何排座位,這天觀影時總存在這樣的一個座位,上、 下午在這個座位上坐的是同一所學校的學生,那么的可能取值有( )
A. 12個 B. 11個 C. 10個 D. 前三個答案都不對
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【題目】在某次測試中,卷面滿分為100分,考生得分為整數(shù),規(guī)定60分及以上為及格.某調研課題小組為了調查午休對考生復習效果的影響,對午休和不午休的考生進行了測試成績的統(tǒng)計,數(shù)據(jù)如下表:
(1)根據(jù)上述表格完成下列列聯(lián)表:
(2)判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為成績及格與午休有關”?
(參考公式:,其中.)
0.010 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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