平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是直線l：x=3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F（1，0）作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)P（m，n）．則m，n滿(mǎn)足的關(guān)系式為    ．
【答案】分析：設(shè)點(diǎn)M（3，k），則由PF⊥OM可得 =-1，化簡(jiǎn)可得 nk=3-3m ①．再由題意可得△OPM為直角三角形，故由勾股定理可得OP2+PM2=OM2，化簡(jiǎn)可得 2m2+2n2-6m-2nk=0 ②．再把①代入②化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
解答：解：設(shè)點(diǎn)M（3，k），則由PF⊥OM可得 =-1，
化簡(jiǎn)可得 nk=3-3m ①．
再由直徑對(duì)的圓周角為直角，可得OP⊥PM，△OPM為直角三角形，故由勾股定理可得
OP2+PM2=OM2，即 m2+n2+（m-3）2+（n-k）2=32+k2．
化簡(jiǎn)可得 2m2+2n2-6m-2nk=0 ②．
再把①代入②化簡(jiǎn)可得 m2+n2=3，
故答案為 m2+n2=3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1）、B（-1，3），若點(diǎn)C滿(mǎn)足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（　�。�
A、3x+2y-11=0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），籃球與地面的接觸點(diǎn)為H，則|OH|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），P（6，8），將向量
OP
按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
后，得向量
OQ
則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，-2），點(diǎn)C滿(mǎn)足   
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：
1
a2
+
1
b2
為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于
2
2
，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩定點(diǎn)A（1，0）、B（0，-1），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足：
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點(diǎn)M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且雙曲線C的離心率等于
3
，求雙曲線C的方程．

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