如圖,在長方體中,點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)求異面直線與所成的角;
(Ⅱ)若二面角的大小為,求點(diǎn)到平面的距離.
解析:本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識, 本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中,要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題的解決,此外用向量也是一種比較好的方法.
答案:解法一:(Ⅰ)連結(jié)。由已知,是正方形,有。
∵平面,∴是在平面內(nèi)的射影。
根據(jù)三垂線定理,得,則異面直線與所成的角為。
作,垂足為,連結(jié),則
所以為二面角的平面角,.
于是
易得,所以,又,所以。
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
∵即,
∴,即,∴.
故點(diǎn)到平面的距離為。
解法二:分別以為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)由,得
設(shè),又,則。
∵∴
則異面直線與所成的角為。
(Ⅱ)為面的法向量,設(shè)為面的法向量,則
∴. ①
由,得,則,即
∴ ②
由①、②,可取
又,所以點(diǎn)到平面的距離
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在長方體中,點(diǎn)分別在上,且,.
(1)求證:平面;
(2)若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角(或直角),則在空間有定理:若兩條直線分別垂直于兩個平面,則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成角相等,試根據(jù)上述定理,在時,求平面與平面所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在長方體中,點(diǎn)在棱的延長線上,
且.
(Ⅰ) 求證://平面 ;(Ⅱ) 求證:平面平面;
(Ⅲ)求四面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖南省高三第一次質(zhì)檢文科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(12分)如圖,在長方體中,點(diǎn)在棱的延長線上,且.
(Ⅰ)求證://平面 ;
(Ⅱ)求證:平面平面;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:福建省2010屆高三高考模擬試卷文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題12分)如圖,在長方體中,點(diǎn)在棱的延長線上,且.
(1)求證:∥平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求四面體的體積.
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