Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過雙曲線的頂點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）命題：“設(shè)、是雙曲線上關(guān)于它的中心對稱的任意兩點(diǎn)， 為該雙曲線上的動點(diǎn)，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于橢圓的類似的正確命題，并加以證明和求出此定值；
（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）.

Answer 1

（1）．
（2）關(guān)于橢圓的正確命題是：設(shè)、是橢圓上關(guān)于它
的中心對稱的任意兩點(diǎn)，為該橢圓上的動點(diǎn)，若直線、均存在斜率，
則它們的斜率之積為定值．（定值）
（3）關(guān)于方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題是：
設(shè)、是方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線上關(guān)于它的中心對稱的任意兩點(diǎn)，為該曲線上的動點(diǎn)，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值.

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，
則，，
橢圓的方程為．
（2）關(guān)于橢圓的正確命題是：設(shè)、是橢圓上關(guān)于它
的中心對稱的任意兩點(diǎn)，為該橢圓上的動點(diǎn)，若直線、均存在斜率，
則它們的斜率之積為定值．
證明如下：
設(shè)點(diǎn)，，，
直線、的斜率分別為，
則，
點(diǎn)，在橢圓上，
，且，
， 即，
所以，（定值）
（3）關(guān)于方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題是：
設(shè)、是方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線上關(guān)于它的中心對稱的任意兩點(diǎn)，為該曲線上的動點(diǎn)，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值.
點(diǎn)評：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）注意將斜率用坐標(biāo)表示出來，易于發(fā)現(xiàn)關(guān)系。本題得到一般性結(jié)論，對指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)探究很有裨益。