若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P,則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí),點(diǎn)P(x,0)存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.
(I)證明:點(diǎn)P(x0,0)的所有“相關(guān)弦”中的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同;
(II)試問(wèn):點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(I)設(shè)AB為點(diǎn)P(x0,0)的任意一條“相關(guān)弦”,且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(x1,y1)、(x2,y2)(x1≠x2),代入拋物線方程相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).設(shè)直線AB的斜率是k,弦AB的中點(diǎn)是M(xm,ym),則可表示出AB的斜率,進(jìn)而可表示出AB的垂直平分線l的方程,把點(diǎn)P(x0,0)代入求得xm=x0-2.答案可得.
(2)由(Ⅰ)知,弦AB所在直線的方程與拋物線方程聯(lián)立求得x1•x2的值,設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l則根據(jù)l2=(x1-x22+(y1-y22=整理得l關(guān)于x0的函數(shù),進(jìn)而根據(jù)x0的范圍求得答案.
解答:解:(I)設(shè)AB為點(diǎn)P(x0,0)的任意一條“相關(guān)弦”,且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是
(x1,y1)、(x2,y2)(x1≠x2),則y21=4x1,y22=4x2,
兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因?yàn)閤1≠x2,所以y1+y2≠0、
設(shè)直線AB的斜率是k,弦AB的中點(diǎn)是M(xm,ym),則
k=
y1-y2
x1-x2
=
4
y1+y2
=
2
ym
.從而AB的垂直平分線l的方程為y-ym=-
ym
2
(x-xm).

又點(diǎn)P(x0,0)在直線l上,所以-ym=-
ym
2
(x0-xm).

而ym≠0,于是xm=x0-2.故點(diǎn)P(x0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦AB所在直線的方程是y-ym=k(x-xm),代入y2=4x中,
整理得k2x2+2[k(ym-kxm)-2]x+(ym-kxm2=0.(•)
則x1、x2是方程的兩個(gè)實(shí)根,且x1x2=
(ym-kxm)2
k2
.

設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l,則l2=(x1-x22+(y1-y22=(1+k2)(x1-x22=(1+k2)[(x1+x22-4x1x2]=4(1+k2)(xm2-x1x2
=4(1+
4
y
2
m
)[
x
2
m
-
(ym-
2
ym
xm)
2
4
y
2
m
]

=(4+ym2)(4xm-ym2)=-ym4+4ym2(xm-1)+16xm
=4(xm+1)2-[ym2-2(xm-1)]2=4(x0-1)2-[ym2-2(x0-3)]2
因?yàn)?<ym2<4xm=4(xm-2)=4x0-8,于是設(shè)t=ym2,則t∈(0,4x0-8).
記l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2
若x0>3,則2(x0-3)∈(0,4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即ym2=2(x0-3)時(shí),
l有最大值2(x0-1).
若2<x0<3,則2(x0-3)≤0,g(t)在區(qū)間(0,4x0-8)上是減函數(shù),
所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.
綜上所述,當(dāng)x0>3時(shí),點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值,且最大值
為2(x0-1);當(dāng)2<x0≤3時(shí),點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的應(yīng)用.考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和運(yùn)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P,則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”;
(I)求點(diǎn)P(4,0)的“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(II)求點(diǎn)P(4,0)的所有“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本小題滿(mǎn)分13分)

A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與

x軸相交于點(diǎn)P,則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí),點(diǎn)Px,0)

存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.

(I)證明:點(diǎn)Px0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同;

(II) 試問(wèn):點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值?

若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P,則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí),點(diǎn)P(x,0)存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.

(I)證明:點(diǎn)P(x0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同;

(II)試問(wèn):點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(湖南卷理20)若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P,則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí),點(diǎn)Px,0)存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.

(I)證明:點(diǎn)Px0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同;

(II) 試問(wèn):點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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