Question

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”．已知當(dāng)x>2時(shí)，點(diǎn)P（x,0）存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”．給定x₀>2．

（I）證明：點(diǎn)P（x₀,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；

（II）試問(wèn)：點(diǎn)P（x₀,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解:（I）設(shè)AB為點(diǎn)P（x₀,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,則y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．因?yàn)閤₁x₂,所以y₁+y₂0．

設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M（x_m, y_m）,則

k=．

從而AB的垂直平分線l的方程為

又點(diǎn)P（x₀,0）在直線l上，所以

而于是

故點(diǎn)P（x₀,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x₀-2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直線的方程是，代入中，

整理得     (1)

則是方程（1）的兩個(gè)實(shí)根，且

設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l，則

 

因?yàn)?<<4x_m=4（x₀-2） =4x₀-8,于是設(shè)t=,則t（0,4x₀-8）．

記l²=g（t）=-[t-2（x₀-3）]²+4（x₀-1）²

若x₀>3,則2（x₀-3）（0, 4x₀-8）,所以當(dāng)t=2（x₀-3）,即=2（x₀-3）時(shí),

l有最大值2（x₀-1）．

若2<x₀≤3,則2（x₀-1）0,   g（t）在區(qū)間（0，4 x₀-8）上是減函數(shù)，所以

0<l²<16（x₀-2）,l不存在最大值．

綜上所述，當(dāng)x₀>3時(shí)，點(diǎn)P（x₀,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值，且最大值為

2（x₀-1）；當(dāng)2< x₀3時(shí)，點(diǎn)P（x₀,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值．