Question

【題目】設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；
（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2，x∈[0，3]時，

作函數(shù)圖象，

可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上是增函數(shù)．

所以f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為f（3）=9

（2）解：

①當(dāng)x≥a時， ．

因為a＞2，所以 ．

所以f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增．

②當(dāng)x＜a時， ．

因為a＞2，所以 ．

所以f（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減．

綜上所述，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是 和[a，+∞），遞減區(qū)間是[ ，a]

（3）解：①當(dāng)﹣2≤a≤2時， ， ，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，關(guān)于x的方程f（x）=t﹣f（a）不可能有三個不相等的實數(shù)解．

②當(dāng)2＜a≤4時，由（1）知f（x）在 和[a，+∞）上分別是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng) 時，方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數(shù)解．

即 ．

令 ，g（a）在a∈（2，4]時是增函數(shù)，

故g（a）max=5．

∴實數(shù)t的取值范圍是 ．

【解析】（1）通過圖象直接得出，（2）將x分區(qū)間進(jìn)行討論，去絕對值寫出解析式，求出單調(diào)區(qū)間，（3）將a分區(qū)間討論，求出單調(diào)區(qū)間解出即可．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能得出正確答案．