解:(1)設(shè)動圓P的圓心坐標(biāo)為P(x,y),
則由題意知:點(diǎn)N在圓M內(nèi),故圓M,P相內(nèi)切,
∴|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=
<4,
所以,動圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓;
所以,動點(diǎn)P的軌跡方程為,
.
(2):
∴OA⊥OB,由對稱性知,∠AOD=∠BOD=45°,
所以,直線OA的斜率k
OA=1,直線OA的方程為y=x,
由
,得A(1,1);
又點(diǎn)A在圓D:(x-t)
2+y
2=t
2(t>0)上,
∴(1-t)
2+1=t
2,解得t=1.
(3):由
知,D是線段EF的中點(diǎn),
不妨設(shè)E(x
1,y
1),由(2)知,D(1,0)∴F(2-x
1,-y
1)
設(shè)T(x
0,y
0),
則
=(x
1-x
0,y
1-y
0)•(2-x
1-x
0,-y
1-y
0)
=(x
1-x
0)(2-x
1-x
0)+(y
1-y
0)(-y
1-y
0)
=2(x
1-x
0)-(x
12-x
02)+(y
02-y
12)
=-x
12+2x
1-y
12+x
02+y
02-2x
0=-[(x
1-1)
2+y
12]+1+x
02+y
02-2x
0=x
02-2x
0+
(1-
)
=
-
;
由-2≤x
0≤2知,當(dāng)x
0=
時(shí),
的最小值為-
;
分析:(1)先由點(diǎn)N在圓M內(nèi),得圓M,P相內(nèi)切;有|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=
<4,可得動圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓;即可求出動圓的圓心P的軌跡C的方程;
(2):
可得OA⊥OB,再由對稱性知,∠AOD=∠BOD=45°,可以求得直線OA的方程為y=x,與橢圓方程聯(lián)立可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo);再利用點(diǎn)A在圓D代入即可求出實(shí)數(shù)t的值;
(3)先由
知,D是線段EF的中點(diǎn),設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo),代入
整理為一元二次函數(shù),利用一元二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法即可求
的最小值.
點(diǎn)評:本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及軌跡方程.第一問中的關(guān)鍵在于分析出圓M,P相內(nèi)切;有|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=
<4,進(jìn)而得到動圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓.