Question

已知動圓P與圓M：(x+

2 6

3

)2+y2=16相切，且經過點N(

2 6

3

，0)．
（1）試求動圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）設O為坐標原點，圓D：（x-t）²+y²=t²（t＞0），若圓D與曲線C交于關于x軸對稱的兩點A、B（點A的縱坐標大于0），且

OA

•

OB

=0，請求出實數t的值；
（3）在（2）的條件下，點D是圓D的圓心，E、F是圓D上的兩動點，滿足2

OD

=

OE

+

OF

，點T是曲線C上的動點，試求

TE

•

TF

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先由點N在圓M內，得圓M，P相內切；有|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=

4 6

3

＜4，可得動圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長為4的橢圓；即可求出動圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）：

OA

•

OB

=0可得OA⊥OB，再由對稱性知，∠AOD=∠BOD=45°，可以求得直線OA的方程為y=x，與橢圓方程聯立可以求得點A的坐標；再利用點A在圓D代入即可求出實數t的值；
（3）先由2

OD

=

OE

+

OF

知，D是線段EF的中點，設出各點坐標，代入

TE

•

TF

整理為一元二次函數，利用一元二次函數在固定區(qū)間上的最值求法即可求

TE

•

TF

的最小值．

解答：解：（1）設動圓P的圓心坐標為P（x，y），
則由題意知：點N在圓M內，故圓M，P相內切，
∴|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=

4 6

3

＜4，
所以，動圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長為4的橢圓；
所以，動點P的軌跡方程為，

x2

4

+

y2

4 3

=1．
（2）：

OA

•

OB

=0∴OA⊥OB，由對稱性知，∠AOD=∠BOD=45°，
所以，直線OA的斜率k_OA=1，直線OA的方程為y=x，
由

y=x x2 4 + 3y2 4 =1

，得A（1，1）；
又點A在圓D：（x-t）²+y²=t²（t＞0）上，
∴（1-t）²+1=t²，解得t=1．
（3）：由2

OD

=

OE

+

OF

知，D是線段EF的中點，
不妨設E（x₁，y₁），由（2）知，D（1，0）∴F（2-x₁，-y₁）
設T（x₀，y₀），
則

TE

•

TF

=（x₁-x₀，y₁-y₀）•（2-x₁-x₀，-y₁-y₀）
=（x₁-x₀）（2-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（-y₁-y₀）
=2（x₁-x₀）-（x₁²-x₀²）+（y₀²-y₁²）
=-x₁²+2x₁-y₁²+x₀²+y₀²-2x₀
=-[（x₁-1）²+y₁²]+1+x₀²+y₀²-2x₀
=x₀²-2x₀+

4

3

（1-

x02

4

）
=

2

3

(x0-

3

2

)2-

1

6

；
由-2≤x₀≤2知，當x₀=

3

2

時，

TE

•

TF

的最小值為-

1

6

；

點評：本題主要考查向量在幾何中的應用以及軌跡方程．第一問中的關鍵在于分析出圓M，P相內切；有|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=

4 6

3

＜4，進而得到動圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長為4的橢圓．