(本題滿分18分,其中第1小題4分,第2小題6分,第,3小題8分)
一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動,其落點坐標(biāo)依次是,(如圖所示,坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn)),表示青蛙從點到點所經(jīng)過的路程。
(1) 若點為拋物線準(zhǔn)線上
一點,點,均在該拋物線上,并且直線經(jīng)
過該拋物線的焦點,證明.
(2)若點要么落在所表示的曲線上,
要么落在所表示的曲線上,并且,
試寫出(不需證明);
(3)若點要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,求的表達(dá)式.
解:(1)設(shè),由于青蛙依次向右向上跳動,
所以,,由拋物線定義知: 分
(2) 依題意,
隨著的增大,點無限接近點 分
橫向路程之和無限接近,縱向路程之和無限接近 分
所以 = 分
(3)方法一:設(shè)點,由題意,的坐標(biāo)滿足如下遞推關(guān)系:,且
其中 分
∴,即,
∴是以為首項,為公差的等差數(shù)列,
∴,
所以當(dāng)為偶數(shù)時,,于是,
又
∴當(dāng)為奇數(shù)時, 分
當(dāng)為偶數(shù)時,
當(dāng)為奇數(shù)時,
所以,當(dāng)為偶數(shù)時,
當(dāng)為奇數(shù)時,
所以, 分
方法二:由題意知
其中
觀察規(guī)律可知:下標(biāo)為奇數(shù)的點的縱坐標(biāo)為首項為,公比為的等比數(shù)列。相鄰橫坐標(biāo)之差為首項為2,公差為1的等差數(shù)列。下標(biāo)為偶數(shù)的點也有此規(guī)律。并由數(shù)學(xué)歸納法可以證明。 分
所以,當(dāng)為偶數(shù)時,
當(dāng)為奇數(shù)時,
當(dāng)為偶數(shù)時,
當(dāng)為奇數(shù)時, 分
所以, 分
【解析】略
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分18分,其中第1小題6分,第2小題4分,第3小題8分)
現(xiàn)有變換公式:可把平面直角坐標(biāo)系上的一點變換到這一平面上的一點.
(1)若橢圓的中心為坐標(biāo)原點,焦點在軸上,且焦距為,長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并求出其兩個焦點、經(jīng)變換公式變換后得到的點和的坐標(biāo);
(2) 若曲線上一點經(jīng)變換公式變換后得到的點與點重合,則稱點是曲線在變換下的不動點. 求(1)中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標(biāo);
(3) 在(2)的基礎(chǔ)上,試探究:中心為坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海市嘉定、黃浦區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文 題型:解答題
(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分8分,第3小題滿分7分.
已知拋物線(且為常數(shù)),為其焦點.
(1)寫出焦點的坐標(biāo);
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點,且,求直線的斜率;
(3)若線段是過拋物線焦點的兩條動弦,且滿足,如圖所示.求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省濟寧市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分18分)已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點到其準(zhǔn)線的距離等于5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;
(Ⅲ)過A、B分別作拋物C的切線且交于點M,求與面積之和的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文 題型:解答題
(本題滿分18分,其中第1小題6分,第2小題4分,第3小題8分)
現(xiàn)有變換公式:可把平面直角坐標(biāo)系上的一點變換到這一平面上的一點.
(1)若橢圓的中心為坐標(biāo)原點,焦點在軸上,且焦距為,長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并求出其兩個焦點、經(jīng)變換公式變換后得到的點和的坐標(biāo);
(2) 若曲線上一點經(jīng)變換公式變換后得到的點與點重合,則稱點是曲線在變換下的不動點. 求(1)中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標(biāo);
(3) 在(2)的基礎(chǔ)上,試探究:中心為坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數(shù).
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