【題目】設(shè)pfx)=1+ax,在(0,2]fx≥0恒成立,q函數(shù)gx)=ax+2lnx在其定義域上存在極值.

(1)若p為真命題,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)如果pq為真命題,pq為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)[+∞)(2)(﹣,)∪[0,+∞

【解析】

(1)進行常變量分離,求出反比例函數(shù)在區(qū)間(02]的取值范圍,最后可以求出實數(shù)a的取值范圍;

(2)求出當q為真命題時, 實數(shù)a的取值范圍,然后根據(jù)或命題的真假的定義,分類討論求出實數(shù)a的取值范圍.

(1)若p為真命題,則a,x∈(0,2]恒成立,所以amax,當x∈(0,2]

,即a的取值范圍為[,+∞);

(2)若q為真命題:函數(shù)gx)=ax+2lnx在其定義域上存在極值;

由于gx)=a,x0

a≥0,g'x)>0,gx)在定義域單調(diào)遞增,在其定義域上不存在極值,不符合題意;

a0,則gx)=a0,則x

0x時,g'x)>0,gx)單調(diào)遞增;

x時,g'x)<0,gx)單調(diào)遞減;

x時,gx)在x時有極大值

所以,若q為真命題,則a0.

因為pq為真命題,pq為假命題,所以命題pq一真一假.

pq假時,則,解得a≥0,

pq真時,則,解得a;

綜上所述:a的取值范圍為(﹣)∪[0,+∞).

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