Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，${S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）（n∈{N^*}）$，則a_n=（　　）

• A． ${（-\frac{1}{2}）^n}$
• B． $-\frac{1}{2^n}$
• C． $-{（-\frac{1}{2}）^n}$
• D． $-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$

Answer 1

分析 ${S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）（n∈{N^*}）$，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=-$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．n=1時，a₁=S₁=$\frac{1}{3}（{a}_{1}-1）$，解得a₁．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）（n∈{N^*}）$，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}（{a}_{n}-1）$-$\frac{1}{3}（{a}_{n-1}-1）$，化為：a_n=-$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
n=1時，a₁=S₁=$\frac{1}{3}（{a}_{1}-1）$，解得a₁=$-\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項與公比都為-$\frac{1}{2}$．
則a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n}$．
故選：A．

點評 本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．