Question

(1)已知x＞1,求證不等式x＞ln(1+x);

(2)當0＜x＜時，求證tanx＞x+;

(3)當x＞0時，證明：不等式e^x＞1+x+x².

Answer 1

分析：利用函數的單調性證明不等式是常用的一種方法.首先構造適當的函數關系式.在建立函數關系時，應盡可能選擇求導和判斷導數都比較容易的函數.一般地，若證明f(x)＞g(x)，x∈(a,b)，可以等價轉化證明F(x)=f(x)-g(x)＞0.如果F′(x)＞0,則函數F(x)在（a,b）上是增函數，如果F(a)≥0,由增函數的定義可知，當x∈(a,b)時,有F（x）＞0,即f(x)＞g(x).

證明：(1)設f(x)=x-ln(1+x),x＞1.f′(x)=1-=,由x＞1,知f′(x)＞0.

∴f(x)在（1，+∞)上是增函數.又f(1)=1-ln2＞1-lne=0,即f(1)＞0,

∴f(x)＞f(1)＞0,

即x＞ln(1+x),(x＞1).

(2)設f(x)=tanx-(x+),則f′(x)=-1-x²=tan²x-x²=(tanx+x)·(tanx-x).

∵x∈(0,).

∴tanx＞x＞0.

∴f′(x)＞0,即f(x)在（0，）內遞增.又f(0)=0.

∴當x∈(0,)時，f(x)＞0,即tanx＞x+.

(3)設f(x)=e^x-1-x-x²,

則f′(x)=e^x-1-x.

下面證明g(x)=e^x-1-x在x＞0時恒為正.

∵g′(x)=e^x-1,當x＞0時g′(x)=e^x-1＞0.

∴g(x)在(0,+∞)上為增函數.

當x＞0時g(x)＞g(0)=0,

即f′(x)在(0,+∞)上恒為正.

∴f(x)在（0，+∞)上為增函數.

又f(0)=e⁰-1-0-0=0,

∴x＞0時，f(x)＞f(0)=0.

∴e^x-1-x-x²＞0,

即x＞0時，e^x＞1+x+x²成立.