Question

已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x均有f(x)=kf(x+2),其中常數(shù)k為負數(shù),且f (x)在區(qū)間[0,2]上有表達式f(x)=x(x-2).

(1)求f(-1),f(2.5)的值;

(2)寫出f(x)在[-3,3]上的表達式,并討論函數(shù)f(x)在[-3,3]上的單調性;

(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值與最大值,并求出相應的自變量的取值.

 

Answer 1

【答案】

(1)f(-1)=-k f(2.5)=-

(2) f(x)= f(x)在[-3,-1]與[1,3]上為增函數(shù),在[-1,1]上為減函數(shù)

(3) ①k<-1時,f(x)在x=-3處取得最小值f(-3)=-k2,

在x=-1處取得最大值f(-1)=-k.

②k=-1時,f(x)在x=-3與x=1處取得最小值f(-3)=f(1)=-1,

在x=-1與x=3處取得最大值f(-1)=f(3)=1.

③-1<k<0時,f(x)在x=1處取得最小值f(1)=-1,在x=3處取得最大值f(3)=-.

【解析】

解:(1)f(-1)=kf(1)=-k,

∵f(0.5)=kf(2.5),

∴f(2.5)=f(0.5)=(0.5-2)×0.5=-.

(2)∵對任意實數(shù)x,f(x)=kf(x+2),

∴f(x-2)=kf(x),

∴f(x)=f(x-2),

當-2≤x<0時,0≤x+2<2,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);

當-3≤x<-2時,-1≤x+2<0,

f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4);

當2<x≤3時,0<x-2≤1,

f(x)=f(x-2)=(x-2)(x-4).

故f(x)=

∵k<0,

∴f(x)在[-3,-1]與[1,3]上為增函數(shù),在[-1,1]上為減函數(shù).

(3)由函數(shù)f(x)在[-3,3]上的單調性可知,

f(x)在x=-3或x=1處取得最小值f(-3)=-k2或f(1)=-1,

而在x=-1或x=3處取得最大值f(-1)=-k或f(3)=-.

故有①k<-1時,f(x)在x=-3處取得最小值f(-3)=-k2,

在x=-1處取得最大值f(-1)=-k.

②k=-1時,f(x)在x=-3與x=1處取得最小值f(-3)=f(1)=-1,

在x=-1與x=3處取得最大值f(-1)=f(3)=1.

③-1<k<0時,f(x)在x=1處取得最小值f(1)=-1,在x=3處取得最大值f(3)=-.