Question

（）（本題14分）如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

,∠BCF=∠CEF=90°,AD=

    （Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；

（Ⅱ）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°？

Answer 1

（Ⅰ）略(Ⅱ) 當(dāng)AB為時(shí)，二面角A－EFC的大小為60°．

解析:

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力。

    方法一：

    （Ⅰ）證明：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CF并CF于G，連結(jié)DG，可得四邊形BCGE為矩形。又ABCD為矩形，所以AD⊥∥EG,從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG。

因?yàn)?i>AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長(zhǎng)線于H，連結(jié)AH。

          由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得

                   AB⊥平面BEFC，

      從而         AH⊥EF，

      所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角。

          在Rt△EFG中，因?yàn)?i>EG=AD=

          又因?yàn)?i>CE⊥EF，所以CF=4，

      從而       BE=CG=3。

           于是BH=BE·sin∠BEH=

           因?yàn)?i>AB=BH·tan∠AHB,

      所以當(dāng)AB為時(shí)，二面角A-EF-G的大小為60°.

方法二：

    如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CF和CD分別

作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

    設(shè)AB=a,BE=b,CF=c,

則C（0，0，0），A（

（Ⅰ）證明：

      所以

      所以CB⊥平面ABE。

              因?yàn)?i>GB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF

故AE∥平面DCF

（II）解：因?yàn)?img width=250 height=26 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/23/320023.gif">，

所以，從而

解得b＝3，c＝4．

所以．

設(shè)與平面AEF垂直，

則      ，

解得    ．

又因?yàn)?i>BA⊥平面BEFC，，

所以，

得到   ．

所以當(dāng)AB為時(shí)，二面角A－EFC的大小為60°．