【題目】如圖1所示,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,點E,F(xiàn)分別是邊CD,CB的中點,EF∩AC=O,沿EF將△CEF翻折到△PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖2所示五棱錐P﹣ABFED,且AP= ,
(1)求證:BD⊥平面POA;
(2)求二面角B﹣AP﹣O的正切值.
【答案】
(1)證明: PO⊥EF,AO⊥EF,所以EF⊥平面POA,因為BD∥EF
∴BD⊥平面POA
則PO⊥BD,又AO⊥BD,AO∩PO=O,AO平面APO,PO平面APO,
∴BD⊥平面APO
(2)解:因為AP= ,可證PO⊥AO,所以EF,PO,AO互相垂直
以O為原點,OA為x軸,OF為y軸,OP為z軸,建立坐標系,
則O(0,0,0),A(3 ,0,0),P(0,0, ),B( ,2,0),
設 =(x,y,z)為平面OAP的一個法向量,
則 =(0,1,0), =(x,y,z)為平面ABP的一個法向量,
=(﹣2 ,2,0), =(﹣3 ,0, ),
則 ,令x=1,則y= ,z=3,
則 =(1, ,3)….cosθ= = ,∴tanθ=
∴二面角B﹣AP﹣O的正切值為
【解析】(1)證明PO⊥BD,AO⊥BD,可得BD⊥平面APO,(2)以O為原點,OA為x軸,OF為y軸,OP為z軸,建立坐標系,則O(0,0,0),A(3 ,0,0),P(0,0, ),B( ,2,0),求出平面OAP的一個法向量,平面ABP的一個法向量即可
【考點精析】根據題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知λ∈R,函數(shù) g(x)=x2﹣4x+1+4λ,若關于x的方程f(g(x))=λ有6個解,則λ的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列 中,公差 , ,且 成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)若 為數(shù)列 的前 項和,且存在 ,使得 成立,求實數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 ,上、下頂點分別是 ,點 是 的中點,若 ,且 .
(1)求橢圓 的標準方程;
(2)過 的直線 與橢圓 交于不同的兩點 ,求 的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知互不重合的直線,互不重合的平面,給出下列四個命題,正確命題的個數(shù)是
①若 , ,,則
②若,,則
③若,,,則
④若 , ,則//
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ +lnx,a∈R. (Ⅰ)若f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(1,2)上單調遞增,求a的取值范圍;
(Ⅲ)討論函數(shù)g(x)=f'(x)﹣x的零點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為上的奇函數(shù),求實數(shù)a的值;
(2)當時,函數(shù)在為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)(),使得 在閉區(qū)間上的最大值為2,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知,函數(shù)在上是單調遞增函數(shù),則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】∵,
∴,
又函數(shù)在單調遞增,
∴在上恒成立,
即在上恒成立。
又當時, ,
∴。
又,
∴。
故實數(shù)的取值范圍是。
答案:
點睛:對于導函數(shù)和函數(shù)單調性的關系要分清以下結論:
(1)當時,若,則在區(qū)間D上單調遞增(減);
(2)若函數(shù)在區(qū)間D上單調遞增(減),則在區(qū)間D上恒成立。即解題時可將函數(shù)單調性的問題轉化為的問題,但此時不要忘記等號。
【題型】填空題
【結束】
19
【題目】某珠寶店丟了一件珍貴珠寶,以下四人中只有一人說真話,只有一人偷了珠寶.甲:我沒有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;。何覜]有偷.根據以上條件,可以判斷偷珠寶的人是__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),當.
(Ⅰ)求出函數(shù)在上的解析式;
(Ⅱ)在答題卷上畫出函數(shù)的圖象,并根據圖象寫出的單調區(qū)間;
(Ⅲ)若關于的方程有三個不同的解,求的取值范圍。
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