Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)軸方程為ρcos（θ﹣ ）=2 ．
（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），曲線C的直角坐標(biāo)方程： =1，

直線l的極坐標(biāo)軸方程為ρcos（θ﹣ ）=2 ，展開(kāi) ，ρcosθ+ρsinθ=4，

∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4．

（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，

得P到直線l的距離d= ，令sinφ= ，cosφ= ．

則d= ，顯然當(dāng)sin（α+φ）=﹣1時(shí)，dmax= ．此時(shí)α+φ=2kπ+ ，k∈Z．

∴cosα= =﹣sinφ=﹣ ．sinα=sin =﹣cosφ=﹣ ，即P ．

【解析】（1）利用cos2α+sin2α=1可把曲線C的參數(shù)方程 （α為參數(shù)）化為直角坐標(biāo)方程，直線l的極坐標(biāo)軸方程為ρcos（θ﹣ ）=2 ，展開(kāi) ，利用 即可化為直角坐標(biāo)方程．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得P到直線l的距離d= ，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．