Question

已知數(shù)列是等差數(shù)列，

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；

(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng) (其中a＞0，且a≠1)，

記S_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和.試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

(1)設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得

解得           ∴

(2)由知

因此要比較與的大小，可先比較與的大小.

取有

取有，

……

由此推測(cè)

 若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：

當(dāng)時(shí)，

 當(dāng)時(shí)，.

 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.

 (i)當(dāng)時(shí)已驗(yàn)證①式成立.

 (ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，①式成立，

 即.

 那么，當(dāng)時(shí)，

 ∵

∴

 因而

 這就是說①式當(dāng)時(shí)也成立.

由(i)(ii)知，①式對(duì)任何自然數(shù)都成立.由此證得：

當(dāng)時(shí)，

 當(dāng)時(shí)，

 評(píng)述：該題是綜合題，主要考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，以及歸納猜想，等價(jià)轉(zhuǎn)化和代數(shù)式恒等變形的能力，相比之下，對(duì)能力的考查，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于對(duì)知識(shí)的考查.