Question

 

設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）已知，若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；

（Ⅲ）記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若，試問：在區(qū)間上是否存在（）個(gè)正數(shù)…，使得成立？請證明你的結(jié)論.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．滿分12分．

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，，

所以切線的斜率為.…………………………………………2分

      又，所以切點(diǎn)為.

      故所求的切線方程為：即.…………………………………………4分

（Ⅱ），，.………………………6分

      令，則.

       當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

      故為函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，

所以的最大值為=.…………………………………………8分

由題意有，解得.

     所以的取值范圍為.…………………………………………10分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，.     記，其中.

∵當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

即在上為增函數(shù). …………………………………………12分

又，

所以，對任意的，總有.

所以，

又因?yàn)?sub>，所以.

故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個(gè)正數(shù)…. ………………………14分