已知f(x)=x3-3x，若m2-4n＞0，m，n∈R，求證：“2|m|+|n|＜4”是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在區(qū)間(-1，1)內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”的充分不必要條件．

解：由f(x)=x3-3x得f′(x)=3(x2-1)，對(duì)x∈(-1，1)有f′(x)＜0，故f(x)在(-1，1)上是減函數(shù)，得f(x)∈(-2，2)． 

于是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在區(qū)間(-1，1)內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”等價(jià)于“方程g(t)=t2+mt+n=0在區(qū)間(-2，2)內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”． 

所以“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在區(qū)間(-1，1)內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”等價(jià)于

   

下面先證明充分性：由2|m|+|n|＜4得|m|＜4-2＜＜2，

且4＞±2m-n，即g(±2)＞0．

所以充分性成立． 

下面再證不必要性：取m=2,n=,顯然滿足

但是2|m|+|n|＜4不成立，

即得不必要性成立．

綜合以上得命題成立．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=x3+
3x
，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=x3+
1
2
mx2-2m2x-4（m為常數(shù)，且m＞0）有極大值-
5
2
，
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）的斜率為2的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1與x=-
23
時(shí)都取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c2＜0成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）求函數(shù)y=
x+3
x2+3
的導(dǎo)數(shù)
（2）已知f(x)=x3+4cosx-sin
π
2
，求f'（x）及f′(
π
2
)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=-x3+ax2-4
 (a∈R)
，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；
（3）若?x0∈（0，+∞），使f（x）＞0，求a取值范圍．

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