已知f(x)=x3+
1
2
mx2-2m2x-4
(m為常數(shù),且m>0)有極大值-
5
2
,
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求曲線(xiàn)y=f(x)的斜率為2的切線(xiàn)方程.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)=0,進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)的極值,利用函數(shù)的極大值為-
5
2
,即可求得m的值;
(Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)=2,由此可求切點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得切線(xiàn)方程.
解答:解:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m)
令f′(x)=0,可得(x+m)(3x-2m)=0,∴x=-m或x=
2m
3
….(2分)        
由列表得:
x (-∞,
-m)
-m (-m,
2
3
m)
2
3
m
(
2
3
m,
+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
….(4分)
∴f(-m)=-m3+
1
2
m3+2m3-4=-
5
2
,∴m=1.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x3+
1
2
x2-2x-4
,則f'(x)=3x2+x-2
令f′(x)=2,可得3x2+x-2=2,∴x=1或x=-
4
3
…(8分)
f(1)=-
9
2
,f(-
4
3
)=-
76
27

所以切線(xiàn)方程為:y+
9
2
=2(x-1)
即4x-2y-13=0;…(10分)
y+
76
27
=2(x+
4
3
)
即54x-27y-4=0…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=x3+
3x
,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及其極值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1與x=-
23
時(shí)都取得極值.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若x∈[-1,2],都有f(x)-c2<0成立,求c的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)求函數(shù)y=
x+3
x2+3
的導(dǎo)數(shù)
(2)已知f(x)=x3+4cosx-sin
π
2
,求f'(x)及f′(
π
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=-x3+ax2-4
 (a∈R)
,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=2時(shí),對(duì)任意的m∈[-1,1],n∈[-1,1],求f(m)+f'(n)的最小值;
(3)若?x0∈(0,+∞),使f(x)>0,求a取值范圍.

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