Question

設命題p：關于x 的不等式x²+2ax+4>0 對一切x ∈R 恒成立，q：函數(shù)f(x)=-(4-2a)x 在（- ∞，+ ∞）上是減函數(shù)．是否存在實數(shù)a ，使得兩個命題中有且僅有一個是真命題？若存在，求出實數(shù)a 的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：假設存在實數(shù)a 使得命題p 、q 中有且僅有一個是真命題，
不妨設集合A={a|x²+2ax+4>0 對一切x ∈R 恒成立} ，
集合B={a|f(x)=-(4-2a)x 在（- ∞，+ ∞）上是減函數(shù)} ．
由x²+2ax+4>0 ，得Δ=(2a)²-4 ×4 <0,-2<a<2,
∴A={a|-2<a<2}.
由f(x)=-(4-2a)x 在（- ∞，+ ∞）上是減函數(shù)，得4-2a>1,
即
∵命題p、q中有且僅有一個是真命題，
∴命題p真且命題q假，或命題p假且命題q真．
∴問題轉化為求[A∩(C_UB]∪[(C_UA)∩B]．
∵C_RA={a|a≤-2或a≥2},C_RB=
∴A∩(C_RB)=(C_RA)∩B={a|a≤-2},
∴實數(shù)n的取值范圍是{a|a ≤-2 或