Question

（2013•永州一模）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（2，0），且與直線X=-2相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點(diǎn)（0，1）的直線l，與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，且以線段PQ為直徑的圓過定點(diǎn)A？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用動(dòng)圓過定點(diǎn)A（2，0），且與直線X=-2相切，根據(jù)拋物線的定義，可得軌跡C為以A（2，0）為焦點(diǎn)，X=-2為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，即可求出直線l的方程．

解答：解：（1）由題意可知，圓心到定點(diǎn)A（2，0）的距離與到定直線X=-2的距離相等，
由拋物線定義可知，軌跡C為以A（2，0）為焦點(diǎn)，X=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
∴p=2，∴拋物線方程為y²=8x                  …（4分）
（2）假設(shè)存在直線l符合題意．…（5分）
由題意易知，直線l的斜率k存在且不為零，
又因過點(diǎn)（0，1），故設(shè)直線l的方程為y=kx+1，…（6分）
聯(lián)立直線與拋物線方程得

y=kx+1 y2=8x

，消元整理得k²x²+（2k-8）x+1=0，
設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則△=（2k-8）²-4k²＞0，∴k＜2 ①
且x₁+x₂=-

2k-8

k2

，x1x2=

1

k2

；                                         …（9分）
∴

AP

•

AQ

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（k²+1）x₁x₂+（k-2）（x₁+x₂）+5
=(k2+1)•

1

k2

+（k-2）•（-

2k-8

k2

）+5=

4k2+12k-15

k2

=0
∴k=-

3

2

±

6

符合①，…（12分）
所以存在符合題意的直線l，其方程為y=（-

3

2

±

6

）x+1．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．