Question

5．設函數(shù)f（x）=2lnx-ax，（a∈R，a＞0）；
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=2lnx-ax，（a＞0），f′（x）=$\frac{2-ax}{x}$，
x∈（0，$\frac{2}{a}$）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（$\frac{2}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
（2）當$\frac{2}{a}$≥2，0＜a≤1時，由（1）得f（x）在[1，2]遞增，
f（x）_max=f（2）=2ln2-2a，
當1＜$\frac{2}{a}$＜2，即1＜a＜2時，由（1）得f（x）在[1，$\frac{2}{a}$）遞增，在（$\frac{2}{a}$，2]遞減，
f（x）_max=f（$\frac{2}{a}$）=2ln2-2lna-2，
當$\frac{2}{a}$≤1即a≥2時，由（1）得f（x）在[1，2]遞減，
故f（x）_max=f（1）=a，
綜上，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{2ln2-2a，0＜a≤1}\\{2ln2-2lna-2，1＜a＜2}\\{a，a≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．