Question

直線l過點M（2，1）且分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）當△OAB的面積最小時，求直線l的方程；
（Ⅱ）當|MA|•|MB|取最小值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設出直線l的截距式方程：

x

a

+

y

b

=1（a、b均為正數(shù)），根據(jù)題意利用基本不等式求出當且僅當a=4、b=2時，△OAB面積為S=4達到最小值，由此即可得到直線l的方程的方程；
（II）過M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為P、N，設∠MAP=α，利用解直角三角形算出|MA|•|MB|=

4

sin2α

，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得當α=45°時，|MA|•|MB|=4達到最小值，進而得到此時直線l方程為x+y-3=0．

解答：解：（I）設直線l方程為

x

a

+

y

b

=1（a、b均為正數(shù)），
∵l過點M（2，1），
∴

2

a

+

1

b

=1．
∵1=

2

a

+

1

b

≥2

2 a • 1 b

，化簡得ab≥8，當且僅當

2

a

=

1

b

時，即a=4，b=2時，等號成立，
∴當a=4，b=2時，ab有最小值8，
此時△OAB面積為S=

1

2

ab=4達到最小值．
直線l的方程的方程為

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0．
（II）過M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為P、N
設∠MAP=α，則Rt△MPA中，
sinα=

|MP|

|MA|

，得|MA|=

|MP|

sinα

=

1

sinα

，
同理可得：|MB|=

2

cosα

∴|MA|•|MB|=

2

sinαcosα

=

4

sin2α

∵sin2α∈（0，1]，
∴當2α=90°時，即α=45°時，sin2α=1達到最大值，|MA|•|MB|=

4

sin2α

=4達到最小值，
此時直線l的斜率k=-1，得直線l方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．

點評：本題給出經過定點的直線，求滿足特殊條件的直線方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、基本不等式求最值和解直角三角形等知識，屬于中檔題．